Fall von Kowalewskaya

Der Kowalewskaja-Kreisel hat bezüglich zweier seiner Hauptachsen gleiche Trägheitsmomente und ein genau doppelt so großes bezüglich der dritten Hauptachse. Die Erhaltungsgrößen sind die Energie, der Gesamtdrehimpuls und ein komplexer mathemathischer Ausdruck, für den es keine allgemeinverständliche Entsprechung gibt.

Fall von Goryachew-Chaplygin

Dies ist eine Abwandlung des Kowalewskaja-Falles, der statt doppelt so großem dritten Trägheitsmoment ein viermal so großes fordert. In diesem Fall gibt es allerdings nur dann eine dritte Erhaltungsgröße, wenn der Drehimpuls um die z-Achse verschwindet.

Unabhängig von anderen Einflüssen ist jeder Kreisel quasi-integrabel, bei dem entweder sehr wenig oder sehr viel Energie (im vergleich zur potentielle Energiedifferenz zwischen unterem und oberem Totpunkt) in der Rotation steckt. Die chaotischsten Bewegungen bei den nicht integrablen Typen treten unabhängig von der Form dann auf, wenn die kinetische Energie des Kreisels gerade ausreicht, den oberen Totpunkt zu erreichen.

Fall von Lagrange

Dieser Fall wird durch einen typischen Spielzeugkreisel realisiert, wenn man dessen Aufsetzpunkt am Boden fixiert.Für den Lagrange-Fall ist die Übereinstimmung der Trägheitsmomente bezüglich zweier Hauptachsen gefordert, was von radialsymmetrischen Körpern erfüllt wird. Dann gibt es mit drei Erhaltungsgrößen ebensoviele wie Freiheitsgrade: die Energie, den Gesamtdrehimpuls und den Drehimpuls bezüglich der z-Achse (in Richtung des Kraftfeldes).